Solitario de rayas I: Introducción

Hace 20 años, en mi primer curso de carrera, me estuve dedicando con unos compañeros de clase a hacer un tipo de solitario que requiere papel cuadriculado. El juego empieza marcando 36 puntos de esta forma:

El juego consiste en buscar grupos de cinco puntos alineados y consecutivos de los que al menos cuatro ya estén marcados, en direcciones horizontal, vertical y diagonal. Entonces se dibuja el segmento y se marca el punto que no estuviese marcado. Tres ejemplos dejarán esto claro:

El objetivo del juego es, simplemente, añadir el mayor número posible de rayas.

¿Hasta dónde se puede llegar? Pues bastante lejos. No consigo recordar si mi récord personal era 142 o 182 rayas, pero había bastante gente que me ganaba. He aquí un solitario con 90 rayas que acabo de hacer sin estar entrenado:

El compañero que nos enseñó el juego decía que era posible llegar hasta las 2.000 rayas, pero esto se lo debió de inventar. Para justificar esto, observemos que al principio cada punto marcado tiene ocho "enlaces libres"; es decir, podría ser conectado con ocho puntos vecinos. Cuando dibujamos un segmento y marcamos el punto en uno de sus extremos, usamos siete enlaces y añadimos un punto con siete enlaces libres.

Cuando dibujamos un segmento y marcamos un punto interior, quitamos en total seis enlaces, pero añadimos un punto con seis enlaces. Y, finalmente, cuando dibujamos un segmento que une cinco puntos ya marcados, entonces perdemos 8 enlaces libres. Es decir, mientras vamos haciendo el solitario, el número de enlaces libres que tienen los puntos marcados sólo puede disminuir; y empezarán a alejarse entre sí cuando la figura se haga mayor y mayor, de forma que tarde o temprano se hará imposible añadir nuevos segmentos.

Al empezar tenemos 36 puntos, cada uno con 8 enlaces libres, con lo cual tenemos un total de 288 enlaces libres iniciales.

Bueno, pues pensemos ahora en un octógono que tenga 13 puntos en cada lado:

Esta figura tiene 4 enlaces libres en cada esquina, y 3 en cada uno de los otros puntos en su frontera, de forma que en total tiene 296 enlaces libres, más de los que tendrá cualquier figura que podamos obtener haciendo el solitario. Quizás sea posible que alguna figura del solitario no quepa en el octógono (aunque yo apostaría a que no), pero estas figuras tendrán una razón perímetro/área mayor, y por tanto menos rayas que la mejor figura. No estoy siendo muy riguroso aquí, pero me imagino que se me entiende.

Dado que en el octógono sólo caben 966 rayas (estaría bien que alguien confirmase esta cuenta), y que la mejor solución del solitario estará dentro del octógono, la mejor solución del solitario tendrá menos de 966 rayas; de hecho, podemos apostar a que tendrá bastante menos de 966 rayas.

Así pues, he aquí los dos problemas que nos proponemos resolver:

• Encontrar la figura del solitario con el mayor número de rayas.


• Y, de paso, encontrar la figura del solitario más alargada, para ver si cabe o no dentro del octógono.

El número de posibles subconjuntos de rayas dentro del octógono es una salvajada, algo así como 2⁴⁰⁰⁰. Por decirlo de una forma suave, no vamos a poder analizarlos todos ni siquiera cuando tengamos ordenadores con cuatro procesadores. Pero el caso es que, cuando uno se pone a jugar al solitario, no tiene la impresión de tener muchas opciones para poner nuevas rayas, así que quizás no es tan absolutamente imposible encontrar la solución.

En otras palabras: no tenemos ni idea de si podremos resolver el problema. ¡Esto va a ser una aventura!