sábado, 13 de marzo de 2010

Figuras autoparticionables I

Figuras autoparticionables I

Teníamos que hacer en el trabajo, para una editorial, algún ejercicio sobre sómo el área de una figura aumenta como el cuadrado de su perímetro, y me acordé de una cosa que me imagino que debí de leer en algún libro de Martin Gardner vete tú a saber cuándo.

La idea es que con dos escuadras se puede construir una escuadra mayor, cuyos lados son raiz(2) veces mayores que los lados de la escuadra original; y, esto ya es menos conocido, con tres cartabones se puede hacer un cartabón cuyos lados son raiz(3) veces mayores que los lados del cartabón original.

¿Hay más cosas así? Tras pasar unas cuantas horas emborronando folios, la respuesta es que sí, pero hay pocas figuras que sean realmente originales.

La primera solución trivial es que, para todo todo par de números a y b, se pueden juntar a*b rectángulos de lados raiz(a) y raiz(b), girados 90 grados, para obtener un rectángulo cuyos lados son raiz(a*b) veces mayores que el original.

Hay una solución de éstas que no es muy familiar, el caso a=1 y b=2; es la que usamos al partir por la mitad un folio DIN A4 y obtener dos cuartillas DIN A5 semejantes al original (ver http://es.wikipedia.org/wiki/Formato_de_papel).

Cuando multiplicamos el perímetro por un número entero, como 2 en vez de raiz(2), hay montones de soluciones. Para empezar están todos los rectángulos, rombos, y romboides con bases de igual longitud. Además, todos los triángulos se pueden descomponer en cuatro triángulos semejantes en una forma; los triángulos rectángulos pueden hacerlo en dos formas; y el cartabón puede hacerlo en cuatro formas distintas.

Y luego hay un puñado de soluciones medio interesantes, de las que hemos encontrado cuatro (en realidad, las dos últimas ya las conocía, seguro que están en algún libro de Martin Gardner).

Tengo que acabar aquí porque este blog sólo deja poner cinco imágenes por entrada.

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