Figuras autoparticionables III

Las siguientes soluciones son muy vistosas pero un pelín triviales.

El número de figuras que se juntan es 36, 16 y 4, todos ellos cuadrados, lo que viene a decir que no son demasiado originales. El truco es el mismo en los casos: encontrar una figura formada por triángulos equiláteros o cuadrados tal que al unirla consigo mismo, rotada 2, 3 o 4 veces, forme un triángulo equilátero o un cuadrado, que al repetirlo forma la imagen original ampliada. Las fichas marcadas en azul indican un truco para obtener más soluciones; también podríamos cambiar la orientación de las fichas dentro de cada triángulo o cuadrado, con lo cual parece que tenemos un montón de soluciones.

¿Que cómo se encuentran figuras así? Bueno, empezamos con un triángulo equilátero dividido de la forma obvia en, digamos, 36 triangulitos. Se escoge uno cualquiera de ellos y se tachan los dos triangulitos sobre los que cae al rotarlo 120º y 240º alrededor del centro del triángulo. Se escoge otro triangulito de entre los que quedan libres y se tachan los dos rotados. Y así hasta que no quedan triangulitos libres. En ese momento se han cogido 12 triangulitos que forman una figura que al ser rotada cubre todo el triángulo.

Yo he escogido una figura con forma de serpiente, por aquello de que parece que los motivos escherianos requieren animales, pero ¿de cuántas formas se puede hacer esto? El primer triangulito se puede escoger de 36 formas; el segundo de 33; el tercero de 30... Como el orden en que se escogen los 12 triangulitos no afecta el resultado, tenemos que dividir por 12!, y como la mayoría de las figuras resultantes no tienen ninguna simetría, hay que dividir por casi 6 para eliminar duplicados, con lo cual podemos obtener cerca de 88.500 soluciones en un triángulo dividido en 36; si lo dividiésemos entre 100...

(Observación: el que 36·33·30·...·3 / 12! sea igual a 3¹² tiene una bonita interpretación combinatoria: el efecto de la rotación es dividir los 36 triangulitos en 12 clases de equivalencia de 3 triangulitos, y tenemos que escoger un triangulito de cada clase.)

Cuando esto mismo se hace con un cuadrado, podemos eliminar el cuadradito a 180º de distancia, o los tres cuadraditos a 90º.

Pero, además de jugar con rotaciones, podemos usar simetrías axiales; el triángulo equilátero tiene tres ejes de simetría, y el cuadrado cuatro, con lo cual tenemos mucho campo para jugar. Pero los ejes de simetría parten la figura y las soluciones que salen no son demasiado bonitas.

Dejo como ejercicio para el lector encontrar la forma en que las siguientes figuras sirven para hacer soluciones repitiendo el original 8, 9, 16, 16, 16, 16, 36, 36 y 36 veces, de izquierda a derecha y de arriba abajo. No hará falta decir que las más interesantes son la primera, porque 8 no es un cuadrado, y la última, por lo curioso del agujero, que además hace que haya un montón de soluciones diferentes según el orden en que se "abotonen" los agujeros.

Todo esto está muy bien, ¿pero hay alguna solución en la que una figura se repita 7 veces, aparte del rectángulo trivial? Yo la he buscado hasta aburrirme, y estoy dispuesto a apostar un café a que no existe.