Cómo ordenar una baraja cortándola

Un problema planteado por un compañero de trabajo. Hacemos un mazo con una baraja y lo desordenamos; sabiendo dónde están las cartas, ¿es posible cortar el mazo varias veces de alguna forma para reordenarla?

Los cortes "normales" consisten en separar el mazo en dos submazos y poner encima el que estaba debajo. Este tipo de cortes no cambia el orden relativo de las cartas, simplemente las rota, cambiando la que está encima, y por tanto no sirve para ordenar mazos salvo en raros casos.

Ahora bien, si se permiten cortes en los que el mazo se divida en varios submazos, ¿se puede conseguir ordenarlo?

Un ejemplo. Tenemos un mazo de 8 cartas, de la A a la H. Originalmente están en el orden BCEAFGHD, siendo la primera carta, B, la que está arriba. Podemos cortar el mazo por dos sitios, digamos (BC)(EA)(FGHD), dividiéndolo en tres bloques de cartas: BC, EA, FGHD. Primero dejaremos sobre la mesa el bloque FGHD, luego el EA, y luego el BC. Entonces recogeremos primero el primer bloque, FGHD, luego el segundo y finalmente el tercero, y tendremos las cartas del mazo en este orden: (FGHD)(EA)(BC). Ahora podría volver a cortar este mazo en tres bloques, (FGH)(DE)(ABC), y al recogerlos tendría (ABC)(DE)(FGH), que ya está ordenado.

La cuestión es si siempre podemos hacer esto, y cuántos cortes de qué tipo son necesarios.

Pensando en mazos pequeños, enseguida se encuentra un ejemplo curioso. Si tenemos un mazo de tres cartas, y sólo permitimos hacer cortes en tres bloques, no podremos ordenarlo, porque lo único que haremos será intercambiar las cartas de arriba y abajo. Es fácil ver que, si tenemos un mazo con n cartas que siempre se corta en n bloques, lo único que haremos será invertir el orden de las cartas.

Sin embargo, tenemos el siguiente teorema:

Teorema: si se permiten cortes de dos y tres bloques, siempre es posible ordenar un mazo de n cartas con 3n-3 cortes.

Demostración: supongamos que tenemos un grupo de cartas ya ordenado, D, y una carta B que queremos poner al principio o al final de D. Empezamos con un mazo ABCDE, donde alguno de los grupos A, C o E podría estar vacío. Si queremos colocar B delante de D, cortamos ABCDE en (A)(BC)(DE) para obtener DEBCA, que partimos en (DE)(B)(CA) y obtenemos CABDE, con B justo delante de D como queríamos. Si quisiéramos colocar B detrás de D, lo que podríamos hacer es partir en mazo en (AB)(CD)(E), luego partimos ECDAB en (E)(CDA)(B), y finalmente partimos BCDAE en (BC)(D)(AE) para llegar a AEDBC. Podría parecer que estos cortes usan tres bloques, pero como alguno de los grupos podría estar vacio, en realidad a veces usaremos cortes con sólo dos bloques. Por tanto, en dos o tres cortes podemos colocar cualquier carta delante o detrás de un bloque ya ordenado, de mode que en n-1 movimientos podemos ordenar el mazo, así que como mucho son necesarios 3n-3 cortes.

Por ejemplo, usando cortes de dos o tres bloques, un baraja española de 40 cartas siempre se puede reordenar en 117 cortes o menos. No es ésta una cota demasiado astuta. Es fácil ver que una baraja de 3 cartas siempre se puede reordenar en dos cortes de dos o tres bloques, y una de cuatro cartas en tres. Por cierto, si permitimos cortes de dos, tres o cuatro bloques, las barajas de cuatro cartas siempre se pueden reordenar en dos cortes.

¿Cuántos cortes de dos o tres bloques son necesarios para una baraja con n cartas en el peor caso? Me temo que es una pregunta demasiado difícil, pero se puede encontrar una cota trivial. Por ejemplo, un mazo de 40 cartas se puede cortar en dos bloques de 39 formas, y en tres bloques de comb(39,2) = 39*38/2 = 741 formas; incluso si todas las combinaciones de estos 780 movimientos diesen siempre resultados diferentes, no podríamos conseguir las 40! permutaciones diferentes usando 16 cortes, ya que 780¹⁶<40! ; por tanto, el peor caso necesitará al menos 17 cortes.

En cambio, si permitimos cortes en dos, tres, ... , cuarenta bloques, tenemos que el número total de cortes que podemos usar es 2³⁹-1 (porque podemos cortar o no entre cada par de cartas, pero no podemos no cortar en ningún sitio). Entonces, incluso si todas las combinaciones de estos cortes fuesen diferentes, necesitaremos 5 cortes en el peor caso, ya que (2³⁹-1)⁴<40!.

El problema de determinar los cortes óptimos para un mazo parece difícil, pero estuve pensando en este problema y en una tarde de hackeo compulsivo escribí este programa, que usa cortes de hasta n bloques y encuentra una solución con n-1 cortes o menos. En promedio consigue ordenar un mazo de 40 cartas ordenadas aleatoriamente en unos 14 cortes; AVISO, es un programa feo de narices:

//#include <string> //#include <fstream> #include "stdafx.h" #include <iostream> #include "math.h" #include <time.h> using namespace std; // Un tramo es una secuencia de cartas ya ordenadas, como 12 13 14. Quizás // contiene una única carta. Nunca se cortará en mitad de un tramo. // // Un bloque es una serie de cartas que formará uno de los cortes. Un bloque está // formado por uno o más tramos. // // Un superbloque está formado exactamente por dos bloques que al intercambiar // su orden relativo juntarán dos cartas. // // Por ejemplo: un mazo de 8 cartas como 2 8 6 7 1 3 4 5 se puede partir en // cinco tramos [2] [8] [6 7] [1] [3 4 5], cuatro bloques ([2]) ([8]) ([6 7] [1]) ([3 4 5]) // y un superbloque ([2]) ([8]) <([6 7] [1]) ([3 4 5])>. Al romper el mazo en los // cuatro bloques y cambiar su orden quedará ([3 4 5]) ([6 7] [1]) ([8]) ([2]), y se juntan // las cartas 5 y 6 que antes eran las cartas en los extremos del superbloque. // // También se juntan las cartas 1 y 2; a esto le he llamado optimización, porque en // realidad los tramos [2] y [8] podrían haber formado un bloque ([2] [8]) en vez de // dos bloques ([2]) ([8]), pero entonces no se habrían juntado. // // El algoritmo eurístico es el siguiente: // 1. formar los tramos (existe una forma única de hacerlo) // 2. formar los superbloques decrecientes. Cosas como (x+1 y) (z x) que al // cortar resultarán en (z x x+1 y). Uso una strategia codiciosa, hago una lista // con todos los posibles superbloques (definidos por las parejas de tramos de // sus extremos), elimino los superbloques que contienen completamente a otros // superbloques, y cojo todos los superbloques que puedo empezando por la // izquierda. // 3. entre los tramos que me quedan sin asignar a superbloques, busco superbloques // crecientes; es decir, cosas como (x y) (z x+1) que al reordenar se convertirán // en (z x+1 x y) y que aunque ahora no mejorarán nada, en la siguiente iteración // se podrán usar para hacer un superbloque decreciente. // 4. buscar optimizaciones - por dónde partir los superbloques para conseguir alguna // mejora. // 5. si quedan superbloques sin dividir en bloques, los rompo por la izquierda. int debug = 0; // escribe todo const int NCARTAS = 40; int carta[NCARTAS]; int usada[NCARTAS]; int buffer[NCARTAS]; // tramos int nTramos; int tp[NCARTAS]; // tramo principio int tf[NCARTAS]; // tramo final int tb[NCARTAS]; // bloque al que pertenece este tramo int sbat[NCARTAS]; // superbloque al que ha sido asignado este tramo // parejas para hacer superbloques int nParejas; int tpp[NCARTAS]; // tramo principio pareja int tfp[NCARTAS]; // tramo final pareja // super bloques int nSB; int sbp[NCARTAS]; // principio int sbf[NCARTAS]; // final int sbd[NCARTAS]; // direccion int sbl[NCARTAS]; // libre para optimizar; -1 no, positivo partir ahí // bloques int nBloques; // random values #include <time.h> struct RANDOM{ unsigned long super_z0; unsigned long super_w0; }; void InitRandoms(struct RANDOM *random) { srand( (unsigned)time( NULL ) ); random->super_z0=rand();//2345; random->super_w0=rand();//6542; } unsigned long SuperRand(struct RANDOM *random, unsigned long max) { unsigned long super_znew0 = ((random->super_z0=36969*(random->super_z0&65535)+(random->super_z0>>16))<<16); unsigned long super_wnew0 = ((random->super_w0=18000*(random->super_w0&65535)+(random->super_w0>>16))&65535); unsigned long SUPER_RAND0 = (super_znew0+super_wnew0); return ((SUPER_RAND0)%max); } RANDOM randomSeed; int myRand(int max) { return SuperRand(&randomSeed, 1000000) %max; } double myDoubleRand() { return (double)SuperRand(&randomSeed, 1048576)/1048576.0; } void getRandomPermutation() { int i, j, iCarta, contador; for (i=0; i<NCARTAS; i++) usada[i] = 0; for (j=0; j<NCARTAS; j++) { iCarta = (int) (myDoubleRand()*((double)(NCARTAS-j))); contador = 0; for (i=0; i<NCARTAS; i++) { if (usada[i]==0) { contador++; if (contador>iCarta) { carta[i] = j+1; usada[i] = 1; break; } } } } } void parteCartasEnTramos() { int i; // añadir al primer tramo la primera carta tp[0] = 0; tf[0] = 0; nTramos = 1; // decidir si cada carta se añade al último tramo o si empieza tramo nuevo for (i=1; i<NCARTAS; i++) { if (carta[i]==carta[tf[nTramos-1]]+1) { tf[nTramos-1]++; }else{ tp[nTramos] = i; tf[nTramos] = i; nTramos++; } } } void printTramos() { if (debug==1) { int i; for (i=0; i<nTramos; i++) { if (tp[i]==tf[i]) { cout << carta[tp[i]] << " "; }else{ cout << carta[tp[i]] << "-" << carta[tf[i]] << " "; } } cout << "\n"; } } const int DECRECIENTE = 0; const int CRECIENTE = 1; void buscaSuperBloques(int direccion, int primerTramo, int ultimoTramo) { int i, p1, p2, minimo, primeraPareja; bool cambios; // lista de todas las parejas nParejas = 0; for (p1=primerTramo; p1<=ultimoTramo-1; p1++) { for (p2=p1+1; p2<=ultimoTramo; p2++) { if (direccion==DECRECIENTE && carta[tp[p1]]==carta[tf[p2]]+1) { if (debug==1) cout << "pareja " << p1 << "-" << p2 << "\n"; tpp[nParejas] = p1; tfp[nParejas] = p2; nParejas++; } if (direccion==CRECIENTE && carta[tp[p1]]+1==carta[tf[p2]]) { if (debug==1) cout << "pareja " << p1 << "-" << p2 << "\n"; tpp[nParejas] = p1; tfp[nParejas] = p2; nParejas++; } } } // Eliminar aquellas parejas que contengan completamente a otras parejas cambios = true; while (cambios) { cambios = false; for (p1=0; p1<nParejas; p1++) { for (p2=0; p2<nParejas; p2++) { if (p1!=p2) { // si p1 incluye a p2, eliminar p1 if (tp[tpp[p1]] <= tp[tpp[p2]] && tf[tfp[p1]] >= tf[tfp[p2]]) { if (debug==1) cout << "eliminando pareja " << tpp[p1] << "-" << tfp[p1] << " porque incluye pareja " << tpp[p2] << "-" << tfp[p2] << "\n"; tpp[p1] = tpp[nParejas-1]; tfp[p1] = tfp[nParejas-1]; nParejas--; cambios = true; break; } } } if (cambios) break; } } if (debug==1) { cout << "Lista limpia de parejas:\n"; for (i=0; i<nParejas; i++) { cout << i << " " << tpp[i] << "-" << tfp[i] << "\n"; } } // mientras haya parejas, convertir la primera en superbloque y borrar las que solapen while (nParejas>0) { minimo = 10000; for (i=0; i<nParejas; i++) { if (tpp[i]<minimo) { minimo = tpp[i]; primeraPareja = i; } } if (debug==1) cout << "conviertiendo pareja " << tpp[primeraPareja] << "-" << tfp[primeraPareja] << " en superbloque\n"; sbp[nSB] = tpp[primeraPareja]; sbf[nSB] = tfp[primeraPareja]; sbd[nSB] = direccion; sbl[nSB] = -1; // marcar libre para optimizar for (i=tpp[primeraPareja]; i<=tfp[primeraPareja]; i++) sbat[i] = nSB; nSB++; i = 0; while (i<nParejas) { if (tpp[i]<=sbf[nSB-1] && tfp[i]>=sbp[nSB-1]) { if (debug==1) cout << "borrando pareja " << tpp[i] << "-" << tfp[i] << " porque solapa\n"; tpp[i] = tpp[nParejas-1]; tfp[i] = tfp[nParejas-1]; nParejas--; }else{ i++; } } } } void marcaBloques() { int i, j; // dividir superbloques en bloques; for (i=0; i<nSB; i++) { if (sbl[i]==-1) sbl[i]=sbp[i]; // si todavía están libres para optimizar, partir en el primer sitio posible for (j=sbp[i]; j<=sbl[i]; j++) { tb[j] = nBloques; } nBloques++; for (j=sbl[i]+1; j<=sbf[i]; j++) { tb[j] = nBloques; } nBloques++; } // agrupar los tramos que queden en bloques for (i=0; i<nTramos; i++) { if (tb[i]==-1) { tb[i] = nBloques; j = i+1; while (j<nTramos && tb[j]==-1) { tb[j] = nBloques; j++; } nBloques++; } } if (debug==1) { cout << "partición de tramos en bloques:\n"; for (i=0; i<nTramos; i++) cout << tb[i] << " "; cout << "\n"; } } void printBloques() { int bloque, i; bloque = -1; for (i=0; i<nTramos; i++) { if (tb[i]!=bloque) { // nuevo bloque. Cerrar el anterior si bloque != -1. if (bloque!=-1) cout << ") "; cout << "("; if (tp[i]==tf[i]) { cout << carta[tp[i]]; }else{ cout << carta[tp[i]] << "-" << carta[tf[i]]; } bloque = tb[i]; }else{ // mismo bloque. cout << " "; if (tp[i]==tf[i]) { cout << carta[tp[i]]; }else{ cout << carta[tp[i]] << "-" << carta[tf[i]]; } } } cout << ")\n"; } // Como printBloques, pero leo al revés, escribo cartas en vez de tramos en buffer, y luego copio a cartas. void mueveCartas() { int i, j, k, bloque, finalBloque, write; bloque = -1; write = 0; for (i=nTramos-1; i>=0; i--) { if (tb[i]!=bloque) { if (bloque != -1) { // escribir en buffer las cartas de los tramos i+1 a finalBloque for (j=i+1; j<=finalBloque; j++) { for (k=tp[j]; k<=tf[j]; k++) { buffer[write++] = carta[k]; } } } bloque = tb[i]; finalBloque = i; } } // escribir en buffer las cartas de los tramos 0 a finalBloque for (j=0; j<=finalBloque; j++) { for (k=tp[j]; k<=tf[j]; k++) { buffer[write++] = carta[k]; } } for (i=0; i<NCARTAS; i++) { carta[i] = buffer[i]; } } void printEstructura() { int iTramo, iCarta; if (debug==1) { cout << "pos carta tramo bloque superbloque\n"; for (iCarta=0; iCarta<NCARTAS; iCarta++) { // buscar tramo al que pertenece esta carta for (iTramo=0; iTramo<nTramos; iTramo++) { if (tp[iTramo]<=iCarta && tf[iTramo]>=iCarta) { printf("%2d %2d %2d %2d %2d\n", iCarta, carta[iCarta], iTramo, tb[iTramo], sbat[iTramo]); } } } } } void buscaSuperBloquesCrecientes() { int i, primero, ultimo; // buscar tramos sin asignar a superbloques for (i=0; i<nTramos; i++) { if (sbat[i]==-1) { primero = i; ultimo = i; while (i+1 < nTramos && sbat[i+1]==-1) { i++; ultimo = i; } buscaSuperBloques(CRECIENTE, primero, ultimo); } } } // poner en primero y ultimo los tramos delante de tramo que no están asignados // a ningún bloque ni a ningún superbloque void anterior(int tramo, int & primero, int & ultimo) { ultimo = tramo - 1; primero = tramo; while (primero-1 >= 0 && tb[primero-1]==-1 && sbat[primero-1]==-1) { primero--; } } // poner en primero y ultimo los tramos detrás de tramo que no están asignados // a ningún bloque ni a ningún superbloque void posterior(int tramo, int & primero, int & ultimo) { primero = tramo + 1; ultimo = tramo; while (ultimo < nTramos-1 && tb[ultimo+1]==-1 && sbat[ultimo+1]==-1) { ultimo++; } } // marcar los tramos de primero a ultimo como pertenecientes a un nuevo bloque void nuevoBloque(int primero, int ultimo) { int i; for (i=primero; i<=ultimo; i++) { tb[i] = nBloques; } if (ultimo>=primero) nBloques++; } void optimizaSuperbloques() { int i, primero, ultimo, j, k; // buscar superbloques sin optimizar y mirar si los puedo partir de forma que // formen una pareja creciente con los tramos anteriores que no están en un superbloque // y que no están asignados a ningún tramo. loop1: for (i=0; i<nSB; i++) { if (sbl[i]==-1 && sbp[i]+1<sbf[i]) { anterior(sbp[i], primero, ultimo); for (j=primero; j<=ultimo; j++) { for (k=sbp[i]+1; k<sbf[i]; k++) { if (carta[tf[k]]==carta[tp[j]]-1) { cout << "opt: unire " << carta[tf[k]] << " con " << carta[tp[j]] << "\n"; sbl[i] = k; // partir este superbloque desde sbp[i] hasta tramo k; nuevoBloque(primero, j-1); nuevoBloque(j, ultimo); goto loop1; } } } } } // Idem pareja creciente con tramos posteriores loop2: for (i=0; i<nSB; i++) { if (sbl[i]==-1 && sbp[i]+1<sbf[i]) { posterior(sbf[i], primero, ultimo); for (j=primero; j<=ultimo; j++) { for (k=sbp[i]+1; k<sbf[i]; k++) { if (carta[tp[k]]==carta[tf[j]]+1) { cout << "opt: unire " << carta[tp[k]] << " con " << carta[tf[j]] << "\n"; sbl[i] = k-1; // partir este superbloque desde sbp[i] hasta tramo k-1; nuevoBloque(primero, j); nuevoBloque(j+1, ultimo); goto loop2; } } } } } // Idem pareja decreciente con tramos anteriores loop3: for (i=0; i<nSB; i++) { if (sbl[i]==-1 && sbp[i]+1<sbf[i]) { anterior(sbp[i], primero, ultimo); for (j=primero; j<=ultimo; j++) { for (k=sbp[i]+1; k<sbf[i]; k++) { if (carta[tf[k]]==carta[tp[j]]+1) { cout << "opt: unire " << carta[tf[k]] << " con " << carta[tp[j]] << "\n"; sbl[i] = k; // partir este superbloque desde sbp[i] hasta tramo k; nuevoBloque(primero, j-1); nuevoBloque(j, ultimo); goto loop3; } } } } } // Idem pareja decreciente con tramos posteriores loop4: for (i=0; i<nSB; i++) { if (sbl[i]==-1 && sbp[i]+1<sbf[i]) { posterior(sbf[i], primero, ultimo); for (j=primero; j<=ultimo; j++) { for (k=sbp[i]+1; k<sbf[i]; k++) { if (carta[tp[k]]==carta[tf[j]]-1) { cout << "opt: unire " << carta[tp[k]] << " con " << carta[tf[j]] << "\n"; sbl[i] = k-1; // partir este superbloque desde sbp[i] hasta tramo k-1; nuevoBloque(primero, j); nuevoBloque(j+1, ultimo); goto loop4; } } } } } } int _tmain(int argc, _TCHAR* argv[]){ clock_t time = clock(); int i, nCortes; InitRandoms(&randomSeed); getRandomPermutation(); nCortes = 0; while (true) { for (i=0; i<NCARTAS; i++) cout << carta[i] << " "; cout << "\n"; parteCartasEnTramos(); if (nTramos==1) { cout << "FIN; usados " << nCortes << " cortes.\n"; break; } printTramos(); // partir en superbloques. nSB = 0; // ningún superbloque for (i=0; i<NCARTAS; i++) sbat[i]=-1; // ningún tramo asignado a ningún superbloque buscaSuperBloques(DECRECIENTE, 0, nTramos-1); buscaSuperBloquesCrecientes(); for (i=0; i<nTramos; i++) tb[i] = -1; nBloques = 0; cout << "\n"; optimizaSuperbloques(); // parte superbloques no optimizados en cualquier sitio for (i=0; i<nSB; i++) { if (sbl[i]==-1) { sbl[i] = sbp[i]; } } marcaBloques(); nCortes++; cout << "corte numero " << nCortes << ":\n"; printBloques(); mueveCartas(); } time = clock() - time; cout << "time spent = " << time << " ms\n"; cout << "press any key to end\n"; char cinget; cin.get(cinget); return 0; }

La idea es la siguiente.

Definamos un tramo como una serie de cartas (posiblemente sólo una) que ya están ordenadas crecientemente. Al hacer cortes, nunca cortaremos por la mitad un tramo (no tendría sentido deshacer el trabajo ya hecho), así que los bloques (grupos de cartas por donde corto) están formados por tramos. Obviamente, si un tramo acaba en la carta x, otro tramo empieza con la x+1, a menos que la carta x sea la última del mazo. El mazo está ordenado si y sólo si contiene un único tramo.

Si el mazo no está ordenado, entonces existe un tramo que empieza por x+1 y que aparece antes que un tramo que acaba en x. Porque, si no, todos los tramos ya estarían ordenados entre sí, y por tanto todo el mazo estaría ordenado.

Vale, pues entonces cortamos por delante de x+1, por detrás de x, y en algún sitio intermedio (como x y x+1 están en tramos diferentes sé que hay al menos una separación de tramos entre ellos por donde puedo cortar). Al reordenar los bloques habremos juntado dos tramos en un solo tramo. Así que cada vez que hacemos un corte podemos reducir en uno el número de tramos. Como empezamos con como mucho n tramos, en n-1 cortes o menos llegaremos a tener un único tramo, y entonces el mazo estará ordenado.

Un ejemplo: tengo el mazo 2 8 6 7 1 3 4 5; sus tramos son [2] [8] [6 7] [1] [3 4 5]; como el tramo [6 7] empieza por 6 y el [3 4 5] acaba en 5, parto el mazo en tres bloques ([2] [8]) ([6 7]) ([1] [3 4 5]) y al reordenarlo me quedará 1 3 4 5 6 7 2 8, que ahora tiene sólo 4 tramos: [1] [3 4 5 6 7] [2] [8].

Obviamente, hay varias formas de agrupar los tramos en bloques; si ese mazo lo hubiese partido en ([2] [8]) ([6 7] [1]) ([3 4 5]), al reordenar no sólo empalmaría [3 4 5] con [6 7], sino también [1] con [2], y me quedaría con un mazo con sólo tres tramos: [3 4 5 6 7] [1 2] [8]. Y además, hay otros pares de tramos que podría haber usado para partir el mazo; [2] y [1], y [8] y [6 7], también me habrían servido porque cumplen que la primera carta del primer tramo es la siguiente (x+1) a la última carta del segundo tramo (x).

El programa es una caca escrita en una tarde, y la estrategia heurística que sigue no está demasiado pensada, pero a pesar de todo, parece que siempre consigue reordenar un mazo de 40 cartas en 17 cortes o menos - el promedio está en unos 14 cortes. He hecho un par de pruebas con mazos de 1000 cartas, y los reordena en unos 200 cortes. Parece que en una iteración con n tramos este programa consigue juntar unos log(n) tramos, así que para reordenar un mazo de n cartas necesita algo más de n/log(n) cortes. Estoy convencido de que esto se debe de poder mejorar bastante.

Por qué el descubridor de la distribución t de Student no se llamaba Student

Resulta que, a principios del siglo XX, Claude Guinness se dedicaba a contratar a los mejores licenciados de Oxford y Cambridge para que trabajasen mejorando los procesos industriales de su cervecería.

Uno de sus fichajes fue William Sealy Gosset, un joven químico y matemático que trabajó en el control de calidad de stout, un tipo de cerveza negra. Gosset atacó el problema de minimizar el número de pruebas necesario para decidir si el stout era bueno. Los aficionados a la cerveza pensarán que este problema es estúpido, así que para justificarlo diré que cuanto menos stout se gaste en la fábrica haciendo pruebas, más barato se podrá vender el resto.

Por no entrar en detalles, cuando se hace un número grande de cierto tipo de pruebas, el resultado sigue aproximadamente una distribución normal. Pero Gosset quería hacer precisamente un número pequeño de pruebas, y la aproximación habitual no le servía. Así que echó sus cuentas, descubrió su distribución, y la encontró bastante útil, así que quiso publicarla.

Pero entonces se topó con la política de publicaciones del señor Claude Guinness, al que no le hacía nada de gracia que sus trabajadores revelasen a su competencia lo que él consideraba información confidencial sobre sus métodos de elaboración. Guinnes ya había tenido unos cuantos problemas con estos temas, y no estaba muy dispuesto a regalar al mundo un método que le ahorraba bastante dinero. Francamente, esto era un poco ponerle puertas al campo; no puedes reunir a los mejores científicos del mundo para que descubran la mejor forma de hacer cerveza y esperar que no publiquen sus resultados. Por otro lado, lo que Gosset quería publicar no eran las temperaturas óptimas para fermentar variedades de lúpulo, sino una distribución estadística...

Así que Gosset y Guinness llegaron a un acuerdo: Gosset podría publicar sus descubrimientos, pero usando un pesudónimo científico, para no dar pistas a los otros fabricantes de cerveza sobre cómo abaratar sus procesos de calidad. Este tipo de apaños era relativamente frecuente allá por 1908.

Esta es la razón por la que Gosset publicó sus artículos bajo el nombre de Student, y así hoy en día todos conocemos la distribución t de Student pero casi nadie sabe quién fue Gosset.

Incidentalmente, es posible que Guinness se preocupase demasiado. Es verdad que en aquellos tiempos ya estaba de moda aplicar metodologías científicas a todo tipo de industrias, pero la industria cervecera en concreto resultó ser muy conservadora, y la mayoría de sus competidores continuó con sus métodos tradicionales hasta que el éxito de Guinness les apabulló y les obligó a modernizarse.

Gosset siguió publicando y alcanzó renombre, a pesar de su nombre falso. Tuvo unas cuantas oportunidades de trabajar en la universidad, pero las rechazó porque tenía una familia grande y en Guinness le pagaban muy bien. Debió de ser un tío muy majo, porque consiguió la proeza de hacerse amigo a la vez de Pearson y de Fisher. Estos dos matemáticos se profesaban un intensísimo desprecio por sus desacuerdos sobre la filosofía de las pruebas de significancia, y sus agrias discusiones abarcaron dos generaciones; como esta historia es larga, los interesados podrán alucinar leyendo, por ejemplo, http://www.econ.uba.ar/www/institutos/epistemologia/marco_archivos/ponencias/actas%20xiii/trabajos%20episte/urbisaia-brufman_trabajo.pdf o http://stats.org.uk/statistical-inference/Lenhard2006.pdf (la verdad es que no sé si hay mejores artículos donde cuenten bien esta historia, no he buscado mucho).

Fotocópiame las pelotas / Mario Fernández

Recientemente tres amigos míos han publicado libros, así que voy a hacerles un poquito de publicidad gratuita.

Una cosa que recuerdo de "Fotocópiame las pelotas" es cómo me miraba la gente en el metro mientras yo me partía de risa y pensaba "esto no tiene ninguna gracia".

A pesar de lo que pueda parecer, Mario no es un psicópata; al revés, cuando nació era un tío estupendo y una bellísima persona. Es simplemente que tuvo un trabajo malo en el que aprendió a odiar a sus clientes y que le convirtió temporalmente en un misántropo. Luego tuvo otro trabajo peor, luego otro que no os creeríais, y luego otro tan impeorable que no se lo creyó ni él. Pero esto fue sólo el principio. Cuando estuvo tan alienado que temió perder el sentido de la realidad, empezó a escribir un diario en Internet para desahogarse. Luego se inventaron los blogs, y resultó que Mario ya tenía uno hecho. Años más tarde ha seleccionado algunas de sus entradas para publicarlas, y de esta forma ha salido algo que parece un diario de cuando estuvo trabajando vendiendo cámaras de fotos en una conocida tienda.

La vida de Mario es como una caja de bombones: nunca se sabe qué mierda le va a explotar en las narices, pero podemos apostar a que le ocurrirá algo humillante e innecesario. En realidad no hay trama, el libro es una sucesión de episodios reales contados con gracia, pero tan estúpidos que por separado resultan desesperantes y juntos te convencen de que el mundo necesita más arsenales nucleares. En una ocasión tras otra, Mario es agredido por la falta de sentido común de sus vecinos, clientes, jefes, o compañeros de trabajo; a veces consigue devolver la pelota, pero no se hace ilusiones, sabe que siempre tuvo perdida su guerra contra la humanidad y su idiotez. El diario acaba cuando liga con una compañera de trabajo y deciden escaparse del trabajo y hacerse sus propios jefes. ¿Final feliz? No sé, es triste observar que toda esta mierda y estos sueldos seiscientoseuristas ocurren entre 2002 y 2004, que pasarán a la historia como los años de la abundancia antes del catacroc.

Imprescindible para todos aquellos a los que les guste el humor ácido y grosero, las historias de trabajos basura, los personajes perdedores, o que necesiten revolcarse en el cieno del absurdo existencial.

Trailer publicitario. Las 30 primeras páginas. Otras reseñas: Sergi Puertas, Salva Dávila, Els llibres del Senyor Dolent, 20 minutos. Para comprar: Editorial Mi Cabeza.

Dies de porno i kleenex / Cesc Llaverias

En esta divertida novela se cuentan las aventuras de una pandilla de amigos en esa edad aterradora en la que se les ha acabado el estudiar y tienen que hacerse un hueco en la vida. De repente se marcan objetivos como buscar trabajo, encontrar un piso, y hacer otras cosas que el sistema educativo ignora; obviamente, nada les saldrá bien a la primera, pero no es para preocuparse, son jóvenes y tienen tiempo para volver a fracasar una y otra vez.

Hay dos temas centrales en las diversas tramas: la búsqueda de sexo repetible y los trabajos basura.

Sexo, lo que se dice sexo, van encontrando, pero es esporádico, pícaro, insatisfactorio e infiel. El objetivo real es asegurarse un suministro de polvos para los fines de semana, a ser posible que se ajusten razonablemente a sus preferencias sexuales y emotivas, y para ello tienen que negociar diversas situaciones. Un afortunado se reúne con el amor de su vida y otro llega a celebrar una boda sin casarse, pero, en general, hay más masturbación que otra cosa.

La búsqueda de trabajo es el otro objetivo común, pero este problema no lo pueden arreglar engañándose entre sí, así que lo llevan incluso peor que lo del sexo. La gran desilusión se la lleva un chico que hace un curso de croupier para trabajar en el Casino de Barcelona. Otro desgraciado lo hace bien en su trabajo y de repente se ve agobiado por sus responsabilidades crecientes sin compensación salarial. Me consta que las historias de otros curros se han eliminado, quizás para no hacer deprimente el libro.

Además de tratar otros temas, como problemas con compañeros de piso o vacaciones cutres, la novela ofrece una descripción de la Barcelona golfa y optimista de principios de siglo, porque los miembros de la pandilla exploran todos los garitos de la ciudad en sus correrías nocturnas en busca de sexo y alcohol.

Editorial Autor-Editor; es posible que ya se pueda comprar aquí. Pronto estará traducido al español (salió la semana pasada).

Cenital / Emilio Bueso

Este NO es un libro divertido.

Hace unos años se hablaba de novelas post-apocalípticas; ahora parece que el palabro de moda es "colapso". Por ejemplo, llevan decenios avisándonos de que la Seguridad Social acabará colapsando (quebrando); esto no será el fin del mundo, simplemente será un desastre sin precedentes. ¿Pero qué hacemos nosotros al respecto? Discutir sobre si la culpa será del PP o del PSOE, como si así pudiésemos domeñar fuerzas demográficas irresistibles.

Desde la crisis de los años 70 se nos viene diciendo que la civilización lo tendrá crudo cuando se acabe el crudo. ¿Qué hemos hecho sobre el fin del petróleo?

En Cenital aparece un líder profético, Destral, que hace algo a pequeña escala. Observa que nuestra economía no es sostenible, en particular depende demasiado del petróleo, y, aunque no puede saber muy bien qué ocurrirá ni cuándo, llega a la conclusión de que las cosas no podrán seguir así, y que lo más probable es que evolucionen hacia el lado malo. Así que organiza una ecoaldea donde poder sobrevivir sin necesitar del mundo exterior. Y efectivamente, cuando la humanidad acaba de quemar sus recursos y la cosa se pone fea de verdad (el canibalismo es sólo un paso en el descenso a los infiernos), su pequeña población fuertemente armada parece tener todos los boletos para salir adelante.

La trama de Cenital no importa demasiado; es la historia de un intento de saqueo reminiscente de Mad Max, que en realidad es una excusa para explicarnos cómo funciona la ecoaldea y presentarnos a una serie de personajes. En concreto, la principal ocupación y preocupación de la ecoaldea es la próxima burbuja, una explosión de población causada por la falta de condones.

En Cenital el mundo colapsa en 2014, demasiado cerca de nosotros. Esto le resta credibilidad, pero por otra parte hace que sus personajes sean mileuristas que se hipotecaron, promotores inmobiliarios que ganaron y perdieron fortunas, activistas del 15-M, especuladores, y otra fauna contemporánea. En otras novelas parecidas, los personajes son unos tipos raros de un siglo raro que viven en una sociedad rara con problemas raros y visten de forma rara, y que tienen la rara idea de que sus antepasados cometieron un gran error pero que ellos no tienen la culpa y han aprendido y son mejores. En Cenital, no; los personajes de Cenital somos nosotros mismos desengañados, después de darnos cuenta de que fuimos unos simples y que no vendrá un Hada Renovable a resolvernos el problema energético. En Cenital la gente piensa cosas como "fuimos unos memos y mira la que montamos", "lo vi venir y me construí un refugio", o "fue correcto saquear el planeta antes, y ahora lo seguiré saqueando mientras quede un grano de trigo que robar."

El libro tiene un cierto aire proselitista, se nota que Destral quiere convencer a sus seguidores y al lector, y está repleto de citas lapidarias sobre la insostenibilidad de nuestra economía. Explica cosas como el pico del petróleo, las limitaciones de las energías renovables, y nos convence de que "comemos petróleo": ¿sabía usted que para pescar un kilo de peces nuestra sociedad gasta más de un litro de combustible?

En resumen, es una buena novela de ciencia ficción, bien documentada y que da qué pensar. Además es muy entretenida y cuesta dejar de leerla; como en sus anteriores libros, Noche Cerrada y Diástole, Emilio Bueso consigue dosificar la información que va dando de forma que siempre tienes que leer el capítulo siguiente.

Conjunción

La Luna, Júpiter (arriba) y Venus (abajo) 27 y 28 de febrero de 2012. Es curioso cómo envejecen las cámaras digitales; aunque no se note mucho en las fotos con luz, he tenido que borrar a mano cuatro "estrellas" de píxeles estropeados.

Otro concurso online de problemas matemáticos

He recibido una invitación para participar en otro concurso de problemas para freakies matemáticos: Cerebra. Se celebrará los sábados 21 y 28 poco después de comer hora española.

Voy a ver si me apunto, porque los últimos fines de semana he estado sufriendo demasiado mientras espero a que salga el problema del proyecto Euler.

Resulta que minutos antes de que se publique el problema y empiece la carrera para resolverlo, todos los matemáticos programadores ociosos del planeta se pasan por ahí y empiezan a pinchar frenéticamente en el botón de refrescar para ser los primeros en tener el enunciado, y la página recibe tal bombardeo que entre todos le hacemos involuntariamente un ataque de denegación de servicio. Sí, los freakies somos un horda. Como últimamente pasa una hora antes de poder ver el problema, la cosa está perdiendo su gracia. En fin, paciencia.

Problema real

Os voy a proponer un problema real de matemáticas financieras.

Érase que se era una empresa con graves problemas. Varios inversores compraron participaciones con una diversidad de condiciones, de forma que no está muy claro cuánto vale esta empresa, pero hay que buscar más socios e inyectar más dinero con la esperanza de que aguante hasta que acabe la crisis y empiece a ganar dinero.

Total, que los ejecutivos de esta empresa van a hablar con unos qataríes y les proponen que compren la mitad de la empresa por una cantidad de dinero X. Los qataríes dicen que están de acuerdo, pero exigen a los actuales propietarios de la empresa que se rasquen los bolsillos como sea y pongan otros X euros. Debe de ser un buen trato, porque los propietarios, que posiblemente sí que saben lo que vale la empresa, se ponen muy contentos y dicen que las negociaciones están muy avanzadas.

¿Cuánto vale la empresa ahora? (es decir, antes de que los qataríes compren la mitad)

El problema es curioso porque parece que faltan datos... pero no.

http://www.expansion.com/accesible/2011/12/16/catalunya/1324068132.html

Estadísticas

Otra encuesta que hacen en Telemadrid y les sale el 78%. Para mí que siempre preguntan a los mismos 9, y hay 2 de la oposición.

Otro descubrimiento maravilloso que no lo es

¿Habéis oído hablar de Aidan Dwyer? Lo mismo no, dejadme que os copie unos titulares de la prensa española:

• ABC: "Un niño de 13 años puede revolucionar la energía solar" (23 de agosto de 2011)
• RTVE.es: "Un niño de 13 años crea un sistema que mejora la energía solar en un 20% gracias a Fibonacci" (24 de agosto de 2011)
• La Crónica: Joven de 13 años crea "árbol solar" que genera más energía que paneles (21 de agosto de 2011)

La historia viene a ser ésta. Un chico tiene que hacer un proyecto de ciencias, se da un paseo por un bosque para pensar, y se le ocurre cómo sacar más energía de los paneles solares al observar cómo están orientadas las hojas de los árboles. Tras inspirarse en la naturaleza, recupera un modelo matemático del siglo XIII de Leonardo de Pisa alias Fibonacci, lo usa para construir un modelo de árbol con células fotovoltaicas orientadas en diversas direcciones, y comprueba que funciona mejor que los paneles tradicionales.

Impresionante, ¿no? Veamos qué resortes nos toca esta noticia para que estemos dispuestos a creernos algo que parece demasiado bueno para ser verdad:

• El adolescente genial e inocente.
• Culto a la naturaleza.
• Reaprovecha conocimientos antiguos.
• Es una idea fácil de entender.
• Es algo útil.
• Es un tema de moda.
• Jolín, si es que hasta Fibonacci, el matemático mencionado, es "amistoso"; se le suele vincular con la razón áurea, un número relacionado con el arte, nada que ver con matemáticas aburridas. O sí, claro.

Seamos sinceros, los científicos tienen/tenemos un problema de imagen; al público le parecen unos listillos pedantes que se gastan cantidades enormes de dinero en cosas que no se entienden, y nos encanta que les enmienden la plana. Cualquier artículo que diga que un experto se lo tiene que replantear todo deja un buen sabor de boca.

Así que cuando leemos sobre un chaval que ha descubierto que cambiando la orientación de los paneles solares se puede producir desde un 20% hasta un 50% más de energía, lo queremos creer. Seguro que a los expertos en energía solar nunca se les ha ocurrido eso de orientar los paneles, qué coño sabrán ellos.

Pero lo que revela el incidente es el pésimo nivel de nuestros periodistas científicos. Aquí nadie habla con un experto antes de publicar una noticia que a todos nos hace desconfiar. Me pregunto durante cuánto tiempo habrá gente que al ver paneles solares orientados paralelamente piense que están mal montados y que se hace así porque hay una conspiración para que la energía fotovoltaica no funcione bien.

(Cambiando de tema, los paneles fotovoltaicos de tercera generación ya tienen una eficiencia del 45%. Vale que son carísimos y que en la práctica lo que se sigue usando son los paneles de primera generación, que sólo aprovechan alrededor del 8% de la luz, pero esto va mejorando poco a poco.)

El fallo de Aidan fue medir el voltaje de su árbol, en vez de su potencia (queremos los paneles solares para generar energía, no voltios). Resulta que, al usar un voltímetro sin carga, lo que estaba midiendo en realidad era el voltaje de la célula mejor orientada. La mayoría de sus células estaban peor orientadas que con el método tradicional, pero lo más probable es que alguna de ellas estuviese muy bien orientada hacia el sol, y era esta célula la que determinaba el voltaje medido (mientras no se usase la electricidad para nada). Aquí lo explican bastante bien, aunque está en inglés.

Es posible que ahora Aidan esté avergonzado al ver que todo el planeta se dedica a explicar por qué hizo mal su proyecto, pero yo apostaría a que está cabreado con el primer periodista que empezó esta avalancha mediática de verano: "Mira que ya le dije que mi profesor de ciencias me había explicado el error, pero ese capullo quería un titular que vendiese". Pasa de todos, Aidan, tu idea era buena y merecía mirarse.

El motor de agua

Hace poco tuve una charla con alguien que todavía cree en el motor de agua. A mí me sonaba que esto estuvo de moda allá por la crisis energética de los 70, cuando yo era muy niño, y apenas recordaba nada, así que por pura curiosidad estuve googleando un poco para enterarme. Y bueno, he encontrado tantas cosas absurdas que me entraron ganas de escribir un articulito organizándolas.

Para no confundirnos, aclaremos que un motor de hidrógeno es un motor de explosión que usa hidrógeno en vez de gasolina; y que una célula de hidrógeno produce electricidad pero no es un motor. Las células de hidrógeno y los motores eléctricos son muchos más eficientes que los motores de explosión. Estas cosas funcionan, pero no son motores de agua. Un motor de agua usaría agua como combustible, no hidrógeno.

Primera sorpresa: sigue habiendo en Internet bastante gente que habla del motor de agua como si pudiese funcionar, pero no hay absolutamente ningún debate. Si visitas una página "en contra" del motor de agua, se hablará de química y de entropía. Pero en las páginas "a favor" sólo hay conspiranoia sobre las empresas petroleras, y de la más chusquera.

La segunda sorpresa ha sido descubrir que en realidad ha habido cientos de inventores del motor de agua, cualquiera diría que esta tecnología cuenta con una poderosa industria antes de existir. Veamos algunos casos de errores, estafas, manipulaciones, y otras confusiones:

• Entre los conspiranoicos hay ganas de hacer creer que esto del motor del agua es tan sencillo que ya se inventó en 1807 (lástima que eso sea un motor de hidrógeno). He aquí una buena lista con 31 inventores que supuestamente inventaron motores de agua, pero yo he buscado un poquito sobre los primeros, los del siglo XIX, y no he visto que inventasen nada por el estilo (parece que el motor de agua se convirtió en el Santo Grial de la ciencia durante el siglo XX). También es curioso que haya tanta gente convencida de que las referencias de Julio Verne (1828-1905) al hidrógeno les justifican.
• Albert Elder von Filek le vendió a Franco el secreto de la gasolina en polvo 1 2. Aparecieron cosas en el BOE y en los periódicos, hasta que se dieron cuenta de que aquéllo era un timo y enchironaron al austríaco. En realidad, hay formas de producir gasolina sintética a partir de carbón, como el proceso Bergius, pero son ruinosamente ineficientes, y Filek no pretendía usar carbón, sino agua.
• Stanley A. Meyer se convirtió en el prototipo de inventor asesinado por las fuerzas del mal. Un día estaba comiendo cuando de repente se puso a gritar "¡Me han envenenado! ¡Me han envenenado!". Y pocos minutos después moría de un aneurisma cerebral. Dejando al margen la cuestión de cómo un veneno podría causar un aneurisma, Meyer tenía un buggy en el que decía haber instalado una célula de combustible de su invención. El problema es que él fue la única persona que consiguió hacer funcionar su invento, y un tribunal le condenó a devolver 25.000 dólares a unos inversores; por si hubiese dudas, la sentencia decía "gross and egregious fraud".
• Francisco Pacheco, Bolivia 1943, y otros cuantos inventores. Entre otras cosas inventó una cortadora de césped que no funcionaba, evidencia indiscutible de que producía tanto hidrógeno que se ahogaba.
• Jean Chambrin Francia 1975 y Paul Pantone EEUU 1998, el segundo condenado por fraude.
• Wang Hongcheng China 1984, inventó la forma de convertir agua en un líquido inflamable. Ya me contarán por qué un país pobre, comunista, y dependiente de energía ajena le condenó a 10 años de cárcel en vez de explotar su invento (o cualquier otro invento occidental).
• Cuando Martin Fleischmann y Stanley Pons anunciaron el descubrimiento de la fusión fría en 1986, aparecieron varios fraudes de tipos diferentes.
• Ramar Pillai India 1996, descubrió que el agua mezclada con un orujo de hierbas puede impulsar motos.
• Patrick Kelly, Idaho 2006, consiguió convencer a unos inversores para que le dejasen 400.000$ con los que desarrollar un motor de agua, pero lo que hizo fue gastárselos en ponerse una fuente en su casa y financiar la tarjeta de crédito de su hija de 12 años.
• John Kanzius EEUU 2007. Estaba buscando un remedio contra el cáncer cuando descubrió que si se irradia una muestra de agua con una cantidad brutal de ondas de radio, algunas moléculas de agua se rompen y el hidrógeno y el oxígeno se vuelven a recombinar, formando una llama. La idea básica no es demasiado original, inyecta mucha enegía de alguna forma en el agua y acabará saliendo algo de energía en otra forma.
• Daniel Dingel, Filipinas 2008, cuando le mandaron a la cárcel por estafar 380.000$ dijo que le quitasen lo bailado (tenía 82 años).
• Mohotti Arachchilage Thushara Priyamal Edirisinghe, Sri Lanka 2008, estafador profesional que engañó a un montón de incautos, y a uno de ellos le quitó más o menos 1.104.693,72 rupias.
• Tareq Abu-Hamed, Universidad de Minnesota 2008, sigue investigando lo del boro, ver más abajo.
• Genepax Japón 2008, ya han construido un coche de demostración, pero les está costando encontrar inversores, quizás porque no explican cómo funciona.
• Stone Charles Luther Europa 2009.
• Jordi Freixas Mataró 2010. Añade agua al combustible para mejorar el rendimiento del motor, con lo que recuerda al motor de Chambrin; lo de "motor de agua" lo dice el periodista porque tiene que usar un títular corto, y así vamos creando leyendas.
• Masahide Ichikawa Japón 2011, ha inventado una motocicleta que funciona con agua de mar. Supuestamente usa un calentador de energía solar para evaporar el agua, con lo que se deposita sodio metálico, y al mezclarlo con agua se genera hidrógeno.
• Otros nueve inventores de rarezas sobre agua y energía. También está la sonoluminiscencia, pero, como siempre, se inyecta más energía en los ultrasonidos que la que sale en forma de luz ultravioleta.

Ya me he cansado. Pero de verdad, creo que no exagero cuando digo "cientos".

Mención aparte merece Arturo Estévez Varela, el "inventor en España" del motor de agua, en 1971. La verdad es que, tras haberle visto en videos, me cae bien este extremeño, porque no engañó demasiado a nadie; por ejemplo, explicaba que su invento no era un motor de agua, sino un generador de hidrógeno, y que el hidrógeno se usaba luego en un motor de explosión convencional. Hacía sus demostraciones usando una moto y un botijo; primero bebía del botijo para demostrar que contenía agua, luego llenaba con él el depósito de la moto, echaba sus pastillas con el aditivo secreto de forma que todo el mundo le viese echarlas, y hala, a correr. Si después de esto alguien insistía en pensar que aquello era un motor de agua, pues allá él.

No es que Estévez fuese un modelo de transparencia; nunca explicó qué eran esas pastillas negras que echaba en el generador. La opinión generalizada es que era boro, que reacciona con el agua para producir óxido de boro e hidrógeno, con lo cual en vez de motor de agua lo que habría inventado sería, si acaso, un motor de boro. No es que esto sea malo, el problema es que el motor de boro no puede competir con los motores de gasolina por las siguientes razones:

1. El precio del boro. Cito de http://www.lamentiraestaahifuera.com/2010/01/07/el-absurdo-motor-de-agua/: "El problema es que se necesitan 45 litros de agua y 19 kg de boro para producir 5 kg de hidrógeno que proporcionarían una autonomía semejante a la de un tanque de 40 litros de gasolina o gasoil. El precio de esos 19 kilos de boro rondaría los 95.000$ (unos 68.000€) mientras que el equivalente en gasoil sería unos 40€". En realidad se puede encontrar boro en diversas formas. Imaginemos que el generador de hidrógeno pudiese funcionar con boro amorfo (pero esto lo digo yo, porque Estévez usaba pastillas negras en vez de polvo marrón, y vista la diferencia de precio debía de tener una buena razón). El caso es que el kilo de boro amorfo se puede conseguir por 1,40€ si compras un mínimo de 20 toneladas; así que en vez de importar dos litros de petróleo que cuestan unos 0,34€ cada uno en origen (el resto son impuestos), pasaríamos a importar un kilo de boro que cuesta 1,40€ en origen. Pues vaya.
2. La contaminación. El óxido de boro contamina bastante más que la gasolina 1 2; el problema es que forma ácido bórico, un conocido insecticida. Actualmente dedicamos un 45% de todo el petróleo a producir gasolina; eso son 5.700 millones de litros al día, que podíamos sustituir por unos 11 millones de toneladas de boro al día, que producirían unos 35 millones de toneladas de óxido de boro al día.
3. Las reservas mundiales de boro son 10 millones de toneladas, así que nuestros coches podrían funcionar durante un día antes de acabar con todo el boro del planeta.
4. El coste energético de producir boro es mayor que la energía que libera. Además, la mayor parte de la energía se convierte en calor al oxidarse el boro, al motor llega menos de la mitad de la energía.

Así pues, usar boro en vez de gasolina no es rentable ni económica ni energética ni medioambientalmente; además, es inviable e insostenible, no hay suficiente boro. Si hiciese falta buscaríamos más depósitos de bórax, pero suele ocurrir que la extracción en minas pequeñas es más cara que en las minas grandes (las que explotamos ahora). Y podríamos encontrar formas de reciclar el óxido de boro para producir boro, pero cualquier procedimiento que haga esto gastará al menos tanta energía como la que se produce al oxidar el boro; ¿de dónde sacaríamos esta energía? De hecho, si tuviésemos esta energía, probablemente sería más eficiente usarla en coches eléctricos. Aquí explican por qué hacerlo con aluminio y galio sería mejor que con boro, aunque tampoco esto funciona.

Muchas páginas conspiranoicas dicen que don Arturo "desapareció sin dejar el menor rastro", pero en la primera página de resultados de google se encuentra un video de uno de sus hijos explicando que murió con 82 años. Parece ser que fue el mismo Franco quien, tras un estudio del Colegio de Ingenieros Industriales, le dijo a Estévez que dejase de hablar del asunto, porque "ya se había hecho bastante el ridículo". Estévez, que venía de una familia de posibles pero se había gastado nueve millones de pesetas de la época en su invento sin que nadie le hiciera mucho caso, desapareció de la vida pública. A lo largo de su vida registró unas 100 patentes, pero ninguna de ellas estaba relacionada con el invento que le hizo famoso.

Tercera sorpresa, los conspiranoicos no tienen ni idea de lo que es una patente:

• Las patentes, como su propio nombre indica, son documentos públicos; es decir, si está patentado no es secreto, y si es secreto no está patentado. Por ejemplo, he aquí las patentes de Meyer: 5149407, 4936961, 4826581, 4798661, 4613779, 4613304, 4465455, 4421474, 4389981; todas ellas son variantes cada vez más enrevesadas de la idea de separar el agua en hidrógeno y oxígeno por electrólisis, y luego volver a juntarlos para obtener energía, así que no valen nada, pero supuestamente hay gente capaz de matar para ocultar estos documentos.
• Las patentes caducan al cabo de 20 años; a partir de entonces, todo el mundo puede hacer lo que quiera con ese invento.
• Se puede patentar una idea, sin tener que construir nada ni demostrar que funciona. Es decir, el que algo esté patentado no quiere decir que funcione.
• El que un invento tenga una patente vigente no quiere decir que no puedas hacerte uno en casa para investigar; simplemente quiere decir que si vas a explotarlo comercialmente tienes que ponerte de acuerdo con el inventor.
• Hay oficinas de patentes que aceptan todo sin leerlo. Si quieres patentar algo impatentable, bien porque es la rueda y no la has inventado tú, o bien porque es algo tan ridículo como la forma de balancearse en un columpio, lo único que tienes que hacer es ir a la oficina de patentes adecuada.

Cualquier persona que diga algo del tipo de "los malos compraron la patente y la escondieron" refiriéndose a algo que ocurrió antes de 1990 no está haciendo un gran esfuerzo por ser objetivo: las patentes no se pueden ocultar, así que cualquiera puede ir a la oficina de patentes más cercana y pedir una copia de la patente, que podrá usar libremente porque ya han pasado los 20 años (ojo, tendrá que darle datos suficientes a los trabajadores de la oficina, decirles "busco un invento fabuloso" no será suficiente).

Para acabar, mencionaré mis razones para pensar que nunca ha existido un motor de agua:

• Si empiezas con agua y acabas con agua, los principios de la termodinámica aseguran que no puedes obtener energía. Un motor que usase sólo agua y acabase produciendo agua sería un móvil perpetuo.
• Si fuese posible lo sabríamos; ¿alguien se cree que algo tan sencillo que supuestamente ya se hacía en el siglo XVIII se pueda guardar en secreto en los tiempos de Wikileaks? Por un lado nos dicen que hay personas redescubriendo el motor de agua cada año, pero por otro lado ninguno de estos genios sabe manejarse en Internet.
• Hay bacterias que viven de extraer energía de reacciones químicas realmente exóticas, pero todavía no ha aparecido una bacteria que extraiga energía simplemente del agua. Quizás la única forma de hacerlo es usar el hidrógeno en un reactor de fusión.
  
• ¿Cómo es posible que haya asociaciones ecologistas como Greenpeace que se dedican a chinchar todo lo que pueden a las empresas petroleras, y sin embargo no se ocupan de resucitar el motor de agua?



• Si las malvadas empresas petroleras se estuviesen tomando tantas molestias para ocultar el motor de agua, ¿cómo es que han dejado que el 21% de la energía generada en España sea eólica y el 5% fotovoltaica? ¿A lo mejor no saben que los coches eléctricos se podrán recargar con energía eólica? ¿Cómo se explica que los países comunistas tampoco tengan sus motores de agua?

Enlaces a páginas de problemas

El País está vendiendo una enciclopedia de matemáticas. En total son 30 libros, y cada semana aparece un título nuevo en los kioskos. Para promocionar esta oferta, cada semana ponen "el desafío" en la portada de El País Digital y sortean una enciclopedia entre todos aquellos que manden una solución correcta (las soluciones aparecen los martes y los problemas los jueves). Ahora en agosto han interrumpido este ritmo, simplemente han dejado de una vez los problemas de cinco semanas y ya se corregirán los deberes en septiembre. Conseguir la enciclopedia sería un problema, porque a ver dónde la uardo, pero los problemas son realmente bonitos y están muy bien seleccionados, echadles un ojo aquí.

Por otro lado, me han pasado la dirección de una página con problemas chulos: Acertijos y enigmas de ingenio. A continuación os copio los tres problemas que más me han gustado (posiblemente porque eran nuevos para mí).

• Un pastelero recibe tres cajas de caramelos opacas. Una de anís, otra de menta, y la tercera con una mezcla de las dos. Todas etiquetadas con su respectivos nombres. Más tarde recibe una llamada del proveedor diciendo que todas las cajas están mal etiquetadas. ¿Cuántos caramelos de cada caja deberá sacar como mínimo el pastelero para saber cuál es el contenido real de las cajas?
• El señor Norberto Ferrero padece una extraña enfermedad (conocida como " sindrome de Ferrero ") que hace que todos los días deba tomar dos pastillas, una del tipo A y otra del tipo B. Estas pastillas son exactamente iguales en peso, color, sabor, olor, tamaño, forma.. de modo que es imposible distinguirlas externamente y, sin embargo, es vital que Norberto se tome una pastilla de cada tipo cada día. Por eso, el señor Ferrero, muy organizado él, guarda las pastillas del tipo A en un pastillero marcado con la letra A y las pastillas del tipo B en un pastillero marcado con la letra B. Cada día, echa una pastilla del tipo A y otra del tipo B en su mano y se las traga. Pero hoy, después de echar la pastilla del tipo B, ha echado por accidente dos pastillas del tipo A en su mano, de modo que tiene 3 pastillas y no puede distinguir cual de las tres es la del pastillero B. Para colmo de males, Norberto no quiere simplemente tirar las pastillas y coger otras dos, pues son unas pastillas muy caras. ¿Qué debe hacer para tomar ese día y los días siguientes una pastilla de cada tipo sin equivocarse y sin desperdiciar ninguna? Pensadlo, no es un juego de palabras ni una tontería y aunque parezca imposible se puede hacer.
• El señor y la señora Mancha celebraron una fiesta en sus casa, a la que asistieron otras cuatro parejas. Cuando llegaron a la fiesta, algunos de los invitados (incluyendo a los señores Mancha ) estrecharon su mano con otros, pero naturalmente nadie le dio la mano a su pareja. Durante la cena, el señor Mancha preguntó a cada una de las otras 9 personas con cuántas había estrechado su mano. Sorprendentemente recibió 9 respuestas distintas. ¿A cuántas personas estrechó la mano la señora Mancha? ¿Y el señor Mancha?

Mathmania

En el momento de escribir estas líneas se está celebrando Mathmania, uno de los eventos de Codefest. Se trata de resolver en 5 horas el mayor número de problemas del mismo estilo que los del Proyecto Euler, es decir, son problemas que exigen saber tanto matemáticas como programar. En esta ocasión lo organiza IT-BHU, que no sé muy bien qué es, pero suena a departamento de Informática de alguna universidad, y hay premios que suman en total 30.000 rupias (unos 400 euros). Es curioso ver cómo a la cabeza de la competición van los mismos personajes que lideran los marcadores de la página del proyecto Euler; vaya abuso de los europeos (con permiso de Ucrania).

Yo me apunté, pero al final voy a pasar... otro año será.

Venus y la Luna

Venus y la Luna este anochecer, fotografiados desde la azotea de mi casa con una cámara cutre. La Luna parece estar en cuarto creciente, pero es un efecto de la sobreexposición necesaria para que se pueda ver Venus junto a ella. A la derecha, la misma Luna nueva sin sobreexponer.

Un dato sobre esta sobreexposición. El radio de la órbita de Venus es 0,72 veces el terrestre, de forma que la superficie de la Luna recibe la mitad de luz que la de Venus (0,72²). Sin embargo, el ángulo sólido subtendido por la Luna es unas 4.000 veces mayor que el de Venus, y esta diferencia de brillo hace que sea medio complicado meter a los dos en una misma foto.

Problema de geometría con cuatro puntos para el lector: ¿por qué es posible fotografiar a Marte cerca de una Luna llena, y sin embargo es imposible hacer lo mismo con Venus?

Suicidio homeopático

Hoy he participado en un acto de protesta contra los productos de una gran empresa farmacéutica multinacional, de esas que, en vez de buscar remedios contra enfermedades como la malaria, se dedica a comercializar remedios innecesarios en países occidentales.

Oh, pero no estoy hablando de una empresa que venda medicinas para lucrarse, sino de una que vende sacarosa a precio de medicina y va de "alternativa"; me refiero a Boiron, una farmacéutica especializada en homeopatía.

Parte del problema es que cada cual entiende una cosa diferente por "homeopatía"; y no, no es lo mismo que "medicina natural" o "plantas medicinales". La homeopatía es una pseudociencia muy concreta, basada en estos tres principios:

1. Aquello que causa los síntomas de una enfermedad, la cura. Por ejemplo, el insomnio se cura con cafeína.
2. Diluir mucho una sustancia en agua hace que su efecto sea más fuerte.
3. El agua guarda memoria de qué ha contenido.

Para más detalles, sugiero leer el artículo de la Wikipedia.

No sé muy bien cómo se ha organizado la protesta a nivel internacional; un colectivo llamado 10²³ (por el
número de Avogadro) promovió el evento, consistente en tomarse una sobredosis de medicamentos homeopáticos a las 10:23. Yo me enteré por una lista de escépticos. La convocatoria en Barcelona consistió en quedar en la fuente de Canaletas y tomarnos cada uno una caja entera de pastillas para dormir, en concreto Sedatif PC. Asistimos unos veinte suicidas y dos cámaras de TV3; ha sido una risa, nos hemos metido puñaos de pastillas en la boca, y por no pasar nada, no se han producido ni casos de somnolencia.

La cajita de 20 pastillas me ha costado 7,70 euros, o 20 céntimos la pastillita (al loro con el precio, las medicinas que funcionan son más baratas).

Leerse el breve prospecto es revelador. Cada pastilla de 300 miligramos tiene 225 mg de sacarosa, 72 de lactosa, una cantidad no divulgada de estearato de magnesio c.s.p., y 6 CH de varias hierbas. Cada CH consiste en diluir un volumen de un pricipio activo en 100 volúmenes de agua; como son 6, las hierbas de este preparado están diluidas en una parte en un billón, es decir, cada pastilla contiene unos 0,0000000000003 gramos de Aconitum napellus y otras cinco hierbas.

Para hacerse una idea de lo que es esto; el río Ebro tiene un caudal de 600 m³/s; si cada hora le echásemos dos centímetros cúbicos de Aconitum napellus, lo convertiríamos todo enterito en medicina homeopática. Esta es la razón por la que está prohibido que haya hierbas en los ríos.

Bueno, sigamos leyendo el prospecto:

• ¿Qué cura? Pues no es muy concreto que digamos; dice algo sobre trastornos emocionales, de ansiedad, y del sueño, pero ya está. Vamos, que si tienes insomnio, somnolencia, apnea o narcolepsia, tú te lo tomas y él ya averiguará qué quieres que te haga.
• ¿Qué efectos tiene? No se mencionan.
• ¿Contraindicaciones? "No se han descrito."
• ¿Efectos adversos? "Si se observa cualquier reacción no descrita en este prospecto, consulte con su médico o farmacéutico." Bueno, no sé de qué reacciones habla, porque el prospecto no menciona ninguna.
• Para suicidas: "Si usted ha tomado SEDATIF PC Comprimidos más de lo que debe, consulte inmediatamente a su médico o farmacéutico". Bueno, tan urgente no será, porque me he tomado veinte veces la dosis recomendada, y para más gracia ni me ha hecho falta un café después de comer. No aparece en ningún sitio ni un teléfono de urgencias, ¿es esto legal? No creo que se produzcan muchas intoxicaciones (a menos que seas intolerante a la lactosa, claro).

Las pastillas son dulces, lo de la sacarosa y la lactosa debe de ser verdad. Por lo demás, caca.

Para el futuro: hablando con los otros suicidas, parece que estábamos de acuerdo en que meterse con la homeopatía está bien, pero que ahora mismo la prioridad debería ser defender las vacunas. Podríamos empezar dando más publicidad a los brotes de paperas en Canadá.

Enlaces sobre el suicidio masivo del 5 de febrero de 2011:

• Barcelona
• Madrid
• Convocatoria de Sevilla
• Países donde se han organizado suicidios homeopáticos

Proyecto Euler

La principal razón por la que este blog está tan descuidado es que hay demasiadas tentaciones en la web. Mi último vicio es el proyecto Euler, http://projecteuler.net/, un sitio en el que van planteando problemas de matemáticas y programación que son bonitos, originales, con respuestas relativamente asequibles, y además corregibles.

Una cosa que tiene, buena y mala a la vez, es que puedes abrirte una cuenta y el sitio recuerda qué problemas has resuelto y te pone en una serie de tablas de clasificaciones; quiénes han resuelto más problemas, quienes los han resuelto antes, quienes participan en qué países...

El lado competitivo hace que el sitio sea adictivo, siempre te quedas con ganas de resolver un problema más para avanzar uno o dos puestos en alguna tabla. Pero es que esto tiene su lado ridículo. El viernes pasado me mandaron un mensaje avisándome de que el domingo a las dos de la madrugada hora española saldría el próximo problema. Cuando se me ocurrió mirarlo, el domingo a mediodía, ya lo habían resuelto unas cien personas. No sé, quizás es un pelín excesivo... pero claro, cada cual puede escoger hasta qué punto involucrarse.

Premio a Donald Knuth

Este blog tiene dos ídolos: Martin Gardner y Donald Knuth, que ayer apareció en los periódicos.

El matemático Donald E. Knuth gana el Premio Fundación BBVA Fronteras por convertir la programación informática en ciencia.

El Código de la Biblia

El 20 de diciembre va a ser el día del escepticismo, en rememoración de la muerte de Carl Sagan en 1996. El primer día del escepticismo se celebró el año pasado, y digamos que el acontecimiento no trascendió mucho.



Personalmente, los "días del X" siempre me han fastidiado un poquito, pero es que parece que cada vez hay más pseudociencias por todas partes. ¿Es esto simplemente paranoia? Creo que no; échese una ojeada, por ejemplo, a http://amazings.es/2010/12/19/experimentos-y-tendencias-en-google-labs/#comment-15379.

Así pues, quería escribir una entrada sobre el tema en este blog, y estaba pensando en qué batallita contar, ya que no hay muchas pseudociencias relacionadas con la programación. Y entonces me he acordado de la historia de El Código Secreto de la Biblia.

El origen de la historia es antiquísimo, siempre ha habido chiflados haciendo numerología con la Biblia; esos rollos de la cábala y el 666. En varias ocasiones me he topado con innumerados que creían que al ser yo matemático podría aclararles cosas como por qué las fechas importantes de su vida contienen un siete. Pista: si naciste en 1967, como yo, aproximadamente la mitad de las fechas de tu vida contienen un siete. Si tienes 3 fechas, lo más probable es que una de las cifras 3, 4, 5, 6, 7 o 8 aparezca en todas ellas; por no hablar del 9, que aparece en todas las fechas del siglo XX. Si tienes 9 fechas y te permites descartar tres "anomalías", lo más probable es que puedas quedarte con seis fechas con una cifra en común.

Cuando apuntas a la luna, el tonto se queda mirando el dedo.

Cuando señalas un número, el innumerado sólo ve cifras.

Cuando el cabalista mira una palabra, sólo ve letras, y esto es un misterio enormemente sofisticado que requiere muchos años de estudio.

Uno de las técnicas avanzadas de la cábala consiste en tomar una letra de, por ejemplo, cada siete letras de un texto, y buscar formas de conseguir formar nuevas palabras. Esto es bastante fácil en hebreo, porque las vocales no se escriben. Por ejemplo, la frase "ESTO NO TIENE SENTIDO, BURRO" se escribiría "STNTNSNTDBRR"; si empiezo en la segunda letra y tomo una letra de cada tres obtengo "TNTR", que obviamente me sugiere que estoy haciendo una ToNTeRía.

Generaciones enteras de cabalistas se quedaron ciegas buscando mensajes ocultos de esta forma en el Pentateuco (los cinco primeros libros de la Biblia, escritos por Moisés). Cuando aparecieron los primeros ordenadores en los años 60, varios matemáticos israelíes los usaron para buscar cosas, y claro, las encontraron; pero siendo matemáticos se abstuvieron mucho de decir que aquello significaba algo en concreto.

Esta situación de "laicismo matemático" no iba a durar mucho.

Primero fue el Rabí Weissmandl quien empezó a decir cosas poco prudentes; por ejemplo, afirmaba haber demostrado que la Biblia era la palabra de Dios, ya que nadie podría haber ocultado todos esos mensajes sin tener un ordenador. Y también descubrió cuál de las versiones del Pentateuco es la auténtica, ya que contenía un mayor número de ocurrencias cercanas de palabras como "martillo" y "yunque", y otros criterios similares. Lo gracioso es que otras personas usando el mismo procedimiento no llegaron a los mismos resultados; ¿quizás hay que hacerle una ceremonia de purificación a los ordenadores para que los programas funcionen correctamente?

Y luego apareció un periodista norteamericano aficionado a los misterios llamado Michael Drosnin que tenía muchas ganas de crear polémica. Drosnin habría sido simplemente un chiflado más si no fuese porque avisó en 1994 al primer ministro Isaac Rabin de que se produciría un atentado contra él; y, efectivamente, Rabin fue asesinado en 1995.

He aquí su hallazgo en la Biblia: http://www.2012supplies.com/what_is_2012/bible_code_2012.html.



Bien, no parece demasiado impresionante, especialmente si tenemos en cuenta que el nombre del asesino fue descubierto después del asesinato, y que hay que tomar una letra de cada 4.772 para conseguir las cuatro letras de Rabin.

Drosnin nunca se lo ha pensado mucho a la hora de publicar predicciones inquietantes; por ejemplo, en su primer libro sobre el código de la Biblia, en 1997, anunció que la civilización sería destruida en una guerra nuclear en 2000, y que luego Los Angeles sería rematado por la caída de un meteorito gigante en 2006. Pero cuando publicó su segundo libro, en 2002, la fecha del fin del mundo había sido desplazada a 2012. Drosnin, que es ateo, también ha leído en la Biblia que la Biblia fue escrita por unos extraterrestres, que enterraron un obelisco de acero cerca del Mar Muerto con la clave para descifrar la Biblia. Uno pensaría que Drosnin ya la ha descifrado pero, curiosamente, a pesar de ello hizo un viaje para encontrar el obelisco, sin éxito.

La lista de predicciones de Drosnin es muy larga, pero hasta la fecha sólo contiene una profecía cumplida, la de Rabin. También se le ha criticado por hacer varias trampas, como deletrear palabras usando mezclas creativas de hebreo clásico, hebreo moderno, y hasta abreviaciones del estilo de los SMS. Tras enzarzarse en una larga serie de disputas, en una famosa ocasión le espetó a un escéptico "a ver si encuentras predicciones de asesinatos en Moby Dick". Pues escuchado y hecho. Tras muchas horas de CPU invertidas en la búsqueda, se ha encontrado una bonita colección de profecías ocultadas por Herman Melville a mediados del siglo XIX en lo que simplemente parecía una novela. Unas cuantas de ellas se pueden ver en http://cs.anu.edu.au/~bdm/dilugim/moby.html; mi favorita es esta predicción de la muerte de Trotsky, que fue asesinado con un punzón de hielo.



Bueno, pensé que esta batallita encajaría bien en un blog con problemas de combinatoria.

Olimpiadas matemáticas II

A ver si resucito este blog ahora que vuelvo a tener algo de tiempo libre...

Un tal Harazi encontró una solución especialmente breve para el problema de la entrada anterior.

Como los enlaces dejan de funcionar con una facilidad pasmosa, repito aquí el argumento de Harazi. Empieza tomando un primo p tal que p-1 sea múltiplo de 4. Entonces p divide a algún número de la forma n²+1. La gracia está en ver que n puede ser pequeño; en concreto, podemos suponer que n<p/2, simplemente porque si p divide a n²+1 entonces también divide a (p-n)²+1. Sea k=p-2n>0; entonces p divide a 4(n²+1)=(p-k)²+4, de forma que también divide a k²+4 y por tanto k≥raiz(p-4). Por tanto, p=2n+k≥2n+raiz(p-4) y ya casi hemos acabado; para obtener la desigualdad final, p≥2n+raiz(p-4)≥2n+raiz(2n+raiz(p-4)-4), que es mayor que 2n+raiz(2n) si p es suficientemente grande.

Otras páginas relacionadas con este problema (encontradas por Roberto): solución 2 comentarios otro problema parecido.

Problema de las olimpiadas matemáticas

Olimpiadas matemáticas

Un amigo mío, Roberto, es doctor ingeniero aeronáutico y profesor, así que lleva una vida matemática interesante. Para él, los aviones no son cosas que vuelan, como para el resto de los mortales, sino cilindros que de metal que se van deformando. Hace mucho tiempo, a raíz de los atentados del 11S, tuvimos una charla sobre si un edificio que se está hundiendo puede girar sobre sí mismo; esencialmente, un edificio es una cosa que está hecha para aguantar su peso en una dirección concreta (la vertical), pero no en otras direcciones, de forma que lo normal es que si lo pones en una postura rara se deshaga por su propio peso. Podría parecer que lo que le gusta a Roberto es retorcer cosas con gente dentro, pero su inclinación natural es más bien evitar este tipo de cosas, por eso es ingeniero en vez de banquero. Bueno, el caso es que hace poco recibí por correo una bonita serie de fotos de un edificio volcado pero no roto, y acordándome de esta charla, se la reenvié.

El comentario de Roberto al ver estas fotos vino a ser algo así como "esto es lo que ocurre cuando haces un edificio con estructura muy dura y cimientos muy blandos". En realidad, sus palabras no fueron éstas, los ingenieros se cuidan mucho de pronunciar la palabra "duro" en vano.

Bueno, el caso es que aprovechando el intercambio de correos, Roberto me contó que había estado haciendo los problemas de la Olimpiada Matemática de 2008, y se le había resistido el tercero:

Demostrar que existen infinitos números n tales que n²+1 tiene un factor primo mayor que 2n+raíz(2n).

Es un problema muy chulo, porque está claro que es verdad, pero todos los ataques directos fallan frustrantemente, así que hay que dar un rodeo. A continuación voy a contar mi solución, que empieza siendo bonita pero acaba de una forma muy fea, la verdad, pero lo mismo quieres dejar de leer en este punto e intentar resolver el problema tú mismo.

Solución

Sea p un primo congruente con 1 módulo 4 lo suficientemente grande (luego veremos que basta que sea mayor que 29). Entonces p=a²+b², donde a y b son primos entre sí (de lo contrario p no sería primo), y por tanto existen dos números u y v tales que a*u+b*v=1. Entonces

p*(u²+v²) = (a²+b²)*(u²+v²) = (a*u+b*v)²+(b*u-a*v)² = 1+(b*u-a*v)²

Así que tomamos n=b*u-a*v y ya tenemos un n tal que n²+1 es un múltiplo de un primo p bastante grande para n. Demostrar que la cota p>2n+raíz(2n) se cumple es un poco feo porque iremos por casos; seguro que hay una forma inteligente de hacer esto rápidamente, pero yo no la he encontrado. Dejémosla por un momento para después y "acabemos" el problema. Para cada p construimos un n como antes. Observemos que todos estos n son diferentes entre sí; precisamente porque cumplen la cota, sabemos que su mayor factor primo es p, de forma que a cada p le corresponde un n diferente. Pero claro, hay infinitos p, de forma que también hay infinitos n como pide el problema.

Bien, pues ya hemos acabado, salvo por el detalle de demostrar la cota, cosa que haremos por casos.

El primer caso que tenemos que considerar es a=1 o b=1 (en el siguiente párrafo veremos por qué). Esto es fácil; si a=1, lo que haré es tomar u=1 y v=0, y por tanto n=b*u-a*v=b, con lo cual la desigualdad es cierta porque p = 1²+b² > 2b+raíz(2b) = 2n+raíz(2n) si b≥3, es decir, si p≥11.

Bien, ya podemos suponer que a>1 y b>1. Empezamos tomando u≅a^-1 (mod b) y v≅b^-1 (mod a), cosa que no podríamos hacer si a=1 o b=1, y por tanto 0≤u<b, 0≤v<a, y a*u+b*v≅1 (mod a*b). Como 0≤a*u+b*v<a*b+b*a=2*a*b, entonces o bien a*u+b*v=1, o bien a*u+b*v=a*b+1. En este segundo caso tiene que ocurrir que o bien u≥b/2 o bien v≥a/2, pero no pueden cumplirse ambas desigualdades, porque a*u+b*v sería demasiado grande; si se cumple la primera, lo que hago es escoger u=mod(a^-1,b)-b, y entonces ya se cumple a*u+b*v=1.

Así pues, ya podemos suponer que |u|≤b/2 y |v|≤a/2, y que u²+v²≤(a²+b²)/4. Pero me hace falta ajustar más.

Para eliminar el caso u=b/2 (los casos u=-b/2, v=a/2, v=-a/2 se hacen igual), tenemos que a*u+b*v=1 implica b*(a+2v)=2, con lo cual b es un divisor de 2. El caso b=1 ya lo vimos antes, así que podemos suponer que b=2. Entonces u=1, v=(1-a)/2, n = b*u-a*v = 2*1-a*(1-a)/2 = (a*a-a+4)/2, p=a²+b²=a²+4, y entonces p>2n+raíz(2n) se reduce a

a²+4 > a²-a+4 + raíz(a²-a+4)

a > raíz(a²-a+4)

a² > a²-a+4

que es cierto para a>4, es decir, para p≥5²+4=29. Por cierto, la desigualdad es muy ajustada; para p=29 sale a=5, b=2, u=1, v=-2, n²+1=29*5=145 luego n=12, y por tanto

29 = p > 2n+raíz(2n) = 24+raíz(24) = 28,8989

Así que ahora podemos suponer que |u|<b/2 y |v|<a/2; como estos cuatro números son enteros, esto quiere decir que |u|≤(b-1)/2 y |v|≤(a-1)/2; pero claro, no puede ocurrir que a y b sean impares a la vez, porque entonces el primo p=a²+b² sería par; luego sabemos que el caso |u|=(b-1)/2 y |v|=(a-1)/2 a la vez no puede ocurrir. Por tanto:

u²+v² ≤ (b-1)²/4 + (a-1)²/4 -1/4

donde el último 1/4 lo quitamos porque acabamos de ver que el caso u²+v²=(b-1)²/4+(a-1)²/4 no puede ocurrir. Como a+b≥raíz(a²+b²),

u²+v² ≤ (b²-2b+1+a²-2a+1-1)/4 ≤

≤ (a²+b²+1-2raiz(a²+b²))/4 = (raíz(a²+b²)-1)²/4

Bien, ya falta poco; recordemos que a²+b²=p y que p*(u²+v²) = n²+1, así que

p*(raíz(p)-1)²/4 = p*(raíz(a²+b²)-1)²/4 > p*(u²+v²) = n²+1

(p-raíz(p))² > 4n²+4 > 4n²

p-raíz(p) > 2n

raíz(p-raíz(p)) > raíz(2n)

p-raíz(p) + raíz(p-raíz(p)) > 2n + raíz(2n)

Como p>p-raíz(p), -raíz(p) + raíz(p-raíz(p)) es un número negativo, y por tanto

p>2n+raíz(2n)

Y vaya chasco de solución; con lo bonitos que eran los dos primeros párrafos...